Учебные пособия, книги, вся теория по физике для студента, школьника и учителя. Полезные и познавательные статьи.
С нами учить физику легко!

Присоединяйся

Проголосуй

Любите ли Вы Физику?

Да, люблю love
Не совсем fellow
Ненавижу angry

Полезное

Личная охрана В зависимости от того, какие требования вы предъявляете к охране мы готовы предложить индивидуальный подход, который будет учитывать все особенности охраны конкретной персоны. Зачастую у нас заказывают услуги личной охраны родители с целью обезопасить своих детей от преступного посягательства. Случаи киднеппинга не так редки, поэтому даже те клиенты, которые ни разу не получали каких-либо угроз, зачастую предпочитают перестраховаться.


Рекламные материалы




Уважаемый посетитель, Вы находитесь на странице, где представлен урок Математический маятник. Для основательного усвоения урока, просим внимательно прочитать его содержимое два или три раза.

Математический маятник

В данном уроке Вы узнаете что такое математический маятник. Какая сила вызывает колебания маятника. Как выглядит график гармонического колебания. И чему равен период колебаний маятника.
Рассмотренный нами пример колебательного движения тела, скрепленного с пружиной, показывает, что такое движение происходит, если: а) сила, действующая на тело в любой точке траектории, направлена к положению равновесия, а в самой точке равновесия равна нулю; б) сила пропорциональна отклонению тела от положения равновесия. Именно такой силой является сила упругости. Значит ли это, что возможны гармонические колебания только под действием силы упругости? Оказывается, нет. Всякая другая сила (или равнодействующая нескольких сил), удовлетворяющая условиям а) и б), заставляет тело совершать гармонические колебания. С одной такой колебательной системой, в которой действует не только сила упругости, мы и познакомимся.
Математическим маятником называется подвешенный к тонкой нити груз, размеры которого много меньше длины нити, а его масса много больше массы нити. Это значит, что тело (груз) и нить должны быть такими, чтобы груз можно было считать материальной точкой, а нить невесомой.
Когда нить с подвешенным к ней грузом занимает вертикальное положение, маятник покоится. Это его положение равновесия (рис. 155). Если отвести маятник в сторону, например до положения А (рис. 156, а), он начнет совершать колебания.
На первый взгляд может показаться, что движение маятника совсем не похоже на движение тела, скрепленного с пружиной. Ведь это тело колеблется по прямой, а груз на нити движется по дуге АВ. Но если отклонить маятник на достаточно малый угол, например не до точки А, а до точки а (рис. 156, б), то дуга будет очень мало отличаться от прямой (от хорды). При малых углах отклонения колебания математического маятника становятся похожими на колебания тела, прикрепленного к пружине (комбинацию «тело — пружина» часто называют пружинным маятником). А причина сходства в том, что сходны силы, вызывающие колебания в обеих системах.
Математический маятник

Сила, вызывающая колебания маятника. В положении равновесия (см. рис. 155) на подвешенный к нити груз действуют сила тяжести Fт=mg и сила упругости Fупр натянутой нити. Маятник покоится, значит, эти силы уравновешивают одна другую:
Fт+Fyпp=0. (1)

Но вот маятник отклонен на малый угол Малый угол (рис. 157). На груз по-прежнему действуют силы Fт и Fупр. Но теперь они не уравновешены. Их равнодействующая F направлена по касательной к дугe АЕ. Если угол Малый угол, как мы условились, мал, то дуга АЕ, по которой движется груз, очень мало отличается от полухорды АВ. Поэтому можно считать, что груз маятника движется по хорде, вдоль которой мы направили координатную ось X.
Вместо равенства (1) мы должны теперь написать:
Fт+Fyпp=F. (2)

Запишем равенство (2) для проекций векторов сил на касательную к дуге АЕ. Но при малом угле Малый угол можно считать, что эти проекции есть в то же время проекции на ось X:
Fx=(Fт)x.

Проекция Fx равнодействующей F равна проекции (Fт)x силы тяжести Fт, так как проекция на касательную силы упругости Fупр равна нулю.
Из рисунка 157 видно, что (Fт)x по модулю равно Математический маятник. Из треугольника ОВА имеем Математический маятник
где х — отклонение груза от положения равновесия, l — длина подвеса. Тогда предыдущее выражение можно записать,
Математический маятник (3)

Знак «—» означает, что сила F направлена против смещения.
Период колебаний маятника. Сила F — это та сила, которая заставляет маятник колебаться. Из формулы (3) видно, что эта сила очень похожа на силу упругости, заставляющую колебаться пружинный маятник ((Fупр)x= — kx). Разница только в том, что вместо жесткости пружины k здесь стоит величина Математический маятник
Как и сила Fупр, сила F пропорциональна отклонению х тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению
Математический маятник

В этом и состоит причина сходства движения математического и пружинного маятников. Одинаковые причины приводят к одинаковым следствиям. В таком случае значение периода колебаний математического маятника мы получим, если в формулу Математический маятник вместо k подставим Математический маятник. Тогда период Т колебаний математического маятника будет равен:
Период колебаний математического маятника (4)

Из формулы (4) видно, что период колебаний математического маятника не зависит от массы подвешенного груза и амплитуды колебаний (если она мала!).
Математический маятник

В данном месте Земли, где ускорение свободного падения g есть постоянная величина, период колебания маятника определяется только длиной его подвеса.
Поскольку любой маятник имеет вполне определенный период колебаний, маятцики используют для регулировки хода часов. Применяются маяЧшики с периодами колебаний 2 с (большие маятниковые часы), либо 1 с («Ходики»).
Маятник находит также важное применение в геологической разведке. Известно, что в равных местах земного шара значения g различны. Различны они потому, что Земля — не вполне правильный шар. Кроме того, в тех местах, где залегают плотные породы, например некоторые металлические руды, значение g аномально высоко. Точные измерения g с помощью .математического маятника иногда позволяют обнаружить такие месторождения.
График гармонического колебания. В уроке "Геометрическая модель колебательного движения" мы получили формулу, выражающую зависимость координаты колеблющегося тела от' времени. Она относится не только к пружинному, но и к математическому маятнику.
Более наглядное представление о характере гармонического колебания можно получить из графика такого движения. Изобразить такой график можно «поручить» самому колеблющемуся телу. Для этого к нему прикрепляют какое-нибудь легкое пишущее устройство (карандаш, перо), а под ним помещают бумажную ленту. Если во время колебаний маятника ленту двигать с некоторой постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном направлению колебаний, то на ней появится кривая, каждая точка которой соответствует положению пера, а значит, и тела в различные моменты времени. На рисунках 158 и 159 показаны устройства для получения графика и сам график. Кривая, графически изображающая зависимость координаты от времени, называется синусоидой. Ранее мы установили, что координата х изменяется по закону синуса.
Математический маятник

Тот же результат (синусоиду) можно получить совсем просто. Возьмите в руки мел и чертите им на доске вверх-вниз, одновременно двигаясь вдоль доски (по возможности равномерно).
Вычерчивая таким способом график колебаний, мы, как говорят, «развертываем» колебание во времени. Равномерное движение бумажной ленты как бы символизирует течение времени. Такие графики-развертки очень наглядно показывают основные характеристики колебательного движения — амплитуду, период, а значит, и частоту (см. рис. 159). По графикам колебаний удобно сравнивать различные виды колебаний. На рисунке 160, а, б, например, показаны два колебания с одинаковой амплитудой, но с разными частотами. На рисунке 161 мы видим два колебания с одинаковыми частотами, но с разными амплитудами.
Математический маятник

Напомним еще раз, что формула (3) и графики на рисунках 156— 159 относятся к случаям, когда угол отклонения маятника от вертикали (т. е. от положения равновесия) мал. Он не должен превышать 5—10°.


Если Вам понравился урок Математический маятник, то просим непременно поделиться им с друзьями.


CY-PR.com Valid XHTML 1.0 Transitional
Copyright © 2011 Fizika.inВсе права защищены.
Копирование материалов с данного сайта разрешено, при условии наличия ссылки на ресурс "Fizika.in"